Divisores de um Número: Como Achar e Quantos São
Liste todos os divisores sem esquecer nenhum pelo método dos pares, e descubra quantos são pela fatoração — somando 1 a cada expoente e multiplicando.
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Para saber quantos divisores um número tem, fatore em primos, some 1 a cada expoente e multiplique os resultados. Para saber quais são, vá testando de 1 em diante: cada divisor encontrado revela outro, o par dele. Como $60 = 2^2 \times 3 \times 5$, ele tem $(2+1)(1+1)(1+1) = 12$ divisores.
Saber achar divisores acelera tudo o que vem depois — simplificar fração, calcular MMC, reconhecer se uma conta fecha. É uma habilidade de bastidor que aparece em quase toda questão.
O que é um divisor?
Divisor de um número é quem cabe nele um número inteiro de vezes, sem deixar resto. Os divisores de 12 são 1, 2, 3, 4, 6 e 12 — seis ao todo.
Dois divisores existem sempre, em qualquer número: o 1, que divide todo mundo, e o próprio número, que é sempre o maior divisor dele mesmo.
Dica
Trabalhamos aqui só com os divisores positivos, que é o que as questões pedem. Os negativos existem e são os mesmos com o sinal trocado — se 3 divide 12, $-3$ também divide. Por isso ninguém se preocupa em listá-los.
Como listar todos os divisores sem esquecer nenhum?
O risco de testar números de cabeça é pular algum. O método dos pares elimina esse risco.
A ideia: toda vez que você descobre um divisor, descobre outro de graça. Se $72 \div 3 = 24$, então 3 e 24 são ambos divisores. Eles vêm em dupla.
Então teste de 1 em diante, anotando os pares — e pare quando as duas pontas se encontrarem.
Ver resolução passo a passo
Divisores de 72.
| Testando | Divide? | Par encontrado |
|---|---|---|
| 1 | sim | 1 e 72 |
| 2 | sim | 2 e 36 |
| 3 | sim | 3 e 24 |
| 4 | sim | 4 e 18 |
| 5 | não (não termina em 0 ou 5) | — |
| 6 | sim | 6 e 12 |
| 7 | não | — |
| 8 | sim | 8 e 9 |
Em 8 e 9 as pontas se encontraram — não há número entre elas. Pode parar.
Divisores de 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72. São 12.
Saber os critérios de divisibilidade acelera muito essa varredura: você descarta o 5 num relance, porque 72 não termina em 0 nem em 5.
Como saber quantos divisores sem listar todos?
Aqui entra a parte que a maioria não conhece — e que resolve questão de prova em segundos.
Comece pela fatoração em primos. Tome o 12:
$12 = 2^2 \times 3$Agora pense no que faz um número dividir o 12. Ele só divide se for construído com os mesmos primos e sem ultrapassar os expoentes. Ou seja, todo divisor de 12 tem a forma:
$2^a \times 3^b \qquad \text{com } 0 \le a \le 2 \quad\text{e}\quad 0 \le b \le 1$Se você usasse $2^3$, o expoente passaria do que existe no 12 e a divisão não fecharia.
Então basta contar as escolhas. Para o expoente do 2 há 3 opções (0, 1 ou 2); para o do 3 há 2 opções (0 ou 1). Combinando:
$3 \times 2 = 6 \text{ divisores}$Conferindo, ao percorrer as seis combinações:
| $a$ | $b$ | $2^a \times 3^b$ |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 1 | 0 | 2 |
| 2 | 0 | 4 |
| 0 | 1 | 3 |
| 1 | 1 | 6 |
| 2 | 1 | 12 |
São exatamente os divisores que já tínhamos: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Teorema
Contagem de divisores. Se $N = p_1^{e_1} \times p_2^{e_2} \times \dots \times p_k^{e_k}$, então o número de divisores positivos de $N$ é:
$(e_1 + 1)(e_2 + 1)\cdots(e_k + 1)$O $+1$ existe porque o expoente zero também é uma escolha válida — é ele que permite o primo não aparecer naquele divisor.
Exemplo resolvido
Quantos divisores tem o 60? E quais são?
Passo 1 — fatore. Dividindo sucessivamente por primos: $60 \div 2 = 30$, $30 \div 2 = 15$, $15 \div 3 = 5$, $5 \div 5 = 1$. Logo:
$60 = 2^2 \times 3 \times 5$Passo 2 — conte. Some 1 a cada expoente (2, 1 e 1) e multiplique:
$(2+1)(1+1)(1+1) = 3 \times 2 \times 2 = 12 \text{ divisores}$Passo 3 — liste, pelo método dos pares: 1 e 60, 2 e 30, 3 e 20, 4 e 15, 5 e 12, 6 e 10. As pontas se encontram depois do 6.
Divisores de 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. São 12 — bate com a contagem. ✓
Repare como os dois métodos se checam: a fórmula diz quantos procurar, e o método dos pares diz quais são. Se você listou 11 e a fórmula previa 12, sabe que esqueceu um.
E os números primos?
Todo número primo tem exatamente dois divisores: o 1 e ele mesmo. É essa a definição.
Pela fórmula fica evidente. Como $13 = 13^1$, temos $(1+1) = 2$ divisores. E é também por isso que 1 não é primo: como $1$ não tem fator primo nenhum, ele tem um único divisor — ele mesmo — e não dois.
Os erros mais comuns
Erro comum
- Esquecer o $+1$ na contagem. Em $2^2 \times 3$ não são $2 \times 1 = 2$ divisores, e sim $3 \times 2 = 6$. O expoente zero conta.
- Somar os expoentes em vez de multiplicar as opções. As escolhas são combinadas, não somadas.
- Parar a listagem cedo demais. Só pare quando as duas pontas do par se encontrarem.
- Esquecer o 1 e o próprio número. São divisores sempre, e valem ponto na questão.
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre divisor e múltiplo?
Divisor cabe dentro do número (3 é divisor de 12); múltiplo é o número multiplicado por inteiros (12 é múltiplo de 3). É a mesma relação vista de lados opostos — a mesma que separa MDC de MMC.
Por que a fatoração resolve isso?
Porque todo número se escreve de um jeito único como produto de primos. Um divisor nada mais é que uma "parte" dessa construção — daí escolher expoentes menores ou iguais aos originais.
Existe número com quantidade ímpar de divisores?
Existe: os quadrados perfeitos. Em 36 os divisores emparelham, exceto o 6, que forma par consigo mesmo ($6 \times 6 = 36$). Por isso 36 tem 9 divisores, um número ímpar.
Isso cai em prova?
Cai em concurso com frequência, na forma direta ("quantos divisores positivos tem 720?"), e em vestibular de forma indireta, embutido em problemas de contagem ou de simplificação.
Conclusão
Achar divisores tem dois caminhos que se complementam. O método dos pares lista quais são e não deixa escapar nenhum, porque cada divisor encontrado entrega o companheiro. A fatoração diz quantos são, somando 1 a cada expoente e multiplicando.
Usar os dois juntos é o que dá segurança: um mostra a resposta, o outro confirma que ela está completa.
A ordem em que esse tema se encaixa na base está no guia de matemática básica.
Quer ver essa contagem aplicada a mais números, com o passo a passo da fatoração?