Função Afim: o Que É, Coeficientes e Gráfico
Função afim é taxa fixa mais taxa variável. Veja o que cada coeficiente significa, por que o gráfico é uma reta e como montar a lei com dois pontos.
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Função afim é toda função do tipo $f(x) = ax + b$. O $b$ é o valor inicial, de onde ela parte; o $a$ é a taxa de variação, quanto ela muda a cada unidade. É a estrutura de "parte fixa mais parte variável" — a mesma da conta de luz, do plano de celular e da corrida de táxi.
Se esse formato parece familiar, é porque você já resolveu problemas assim. A função afim só dá nome e gráfico ao que você já fazia com equações.
O que é uma função afim?
Uma função afim tem sempre esta forma:
$f(x) = ax + b$Os dois coeficientes têm significado concreto, e é isso que resolve a maioria das questões:
| Coeficiente | Nome | O que significa |
|---|---|---|
| $b$ | Coeficiente linear | O valor inicial, quando $x = 0$ |
| $a$ | Coeficiente angular | Quanto $f(x)$ muda a cada unidade de $x$ |
Volte ao problema do táxi que aparece no guia de álgebra: bandeirada de R$ 10 mais R$ 5 por quilômetro. Escrito como função:
$f(x) = 5x + 10$O 10 é o que você paga antes de andar — o valor inicial. O 5 é o que se soma a cada quilômetro — a taxa. Para 7 km: $f(7) = 5 \cdot 7 + 10 = 45$ reais.
Dica
Para identificar os coeficientes num enunciado, procure duas perguntas: "quanto custa antes de começar?" (isso é $b$) e "quanto muda a cada passo?" (isso é $a$). Toda questão contextualizada de função afim se resolve respondendo essas duas.
Por que o gráfico é uma reta?
Porque a taxa de variação é constante — e essa é a única razão.
Some 1 ao $x$ e veja o que acontece com $f(x) = 2x + 3$:
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 |
A cada passo de $x$, o resultado sobe sempre 2. Sempre o mesmo salto.
Repare no que isso significa: os valores 3, 5, 7, 9, 11 formam uma progressão aritmética de razão 2. Função afim é uma PA que aceita valores intermediários — e o coeficiente $a$ faz o papel da razão.
É por isso que o gráfico não pode curvar: uma curva exigiria que o salto mudasse ao longo do caminho, e aqui ele nunca muda.
O que o sinal de $a$ diz
- $a > 0$ — a função é crescente. A reta sobe da esquerda para a direita.
- $a < 0$ — a função é decrescente. A reta desce.
- Quanto maior o valor absoluto de $a$, mais inclinada a reta.
E o $b$ marca onde a reta corta o eixo vertical, porque é justamente o valor quando $x = 0$.
Como montar a lei a partir de dois pontos?
Este é o tipo de questão mais cobrado. Você recebe dois pontos e precisa descobrir $a$ e $b$.
O $a$ sai da definição: é a variação de $f(x)$ dividida pela variação de $x$.
$a = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$Isso não é fórmula nova — é a própria frase "quanto muda a cada unidade" escrita em símbolos.
Ver resolução passo a passo
Ache a lei da função afim que passa por $(2, 11)$ e $(5, 20)$.
Passo 1 — ache $a$. Do primeiro ponto ao segundo, $x$ subiu 3 e $y$ subiu 9:
$a = \frac{20 - 11}{5 - 2} = \frac{9}{3} = 3$Ou seja, a cada unidade de $x$ a função sobe 3.
Passo 2 — ache $b$. Substitua qualquer um dos pontos na lei $f(x) = 3x + b$. Usando $(2, 11)$:
$11 = 3 \cdot 2 + b \quad\Longrightarrow\quad 11 = 6 + b \quad\Longrightarrow\quad b = 5$Resposta: $f(x) = 3x + 5$.
Confira com o outro ponto, que ainda não foi usado: $f(5) = 3 \cdot 5 + 5 = 20$. ✓ Bate com $(5, 20)$.
O passo de conferência é o que dá segurança: se o segundo ponto não bater, houve erro em $a$ ou em $b$.
Como achar o zero da função?
O zero (ou raiz) é o valor de $x$ que faz $f(x) = 0$ — onde a reta cruza o eixo horizontal.
Basta resolver a equação do 1º grau correspondente:
$ax + b = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = -\frac{b}{a}$Para $f(x) = 3x + 5$: $x = -\frac{5}{3}$. Conferindo: $3 \cdot \left(-\frac{5}{3}\right) + 5 = -5 + 5 = 0$. ✓
No problema do táxi, o zero seria o ponto em que a corrida custaria zero — que não existe na prática, porque a bandeirada já cobra antes de andar. Contexto e matemática nem sempre coincidem, e a questão costuma testar isso.
Qual a diferença entre função afim e função linear?
A função linear é o caso particular em que $b = 0$:
$f(x) = ax$Sem valor inicial, a reta passa pela origem. E isso tem uma consequência importante: só na função linear as grandezas são diretamente proporcionais — dobrar $x$ dobra $f(x)$.
| Função linear | Função afim (com $b \neq 0$) | |
|---|---|---|
| Lei | $f(x) = ax$ | $f(x) = ax + b$ |
| Passa pela origem | Sim | Não |
| Dobrar $x$ dobra $y$? | Sim | Não |
Essa distinção é a armadilha mais comum do assunto. No táxi, $f(x) = 5x + 10$, dobrar a distância não dobra o preço: 4 km custam R$ 30 e 8 km custam R$ 50 — menos que o dobro, por causa da bandeirada. Por isso não dá para usar regra de três quando existe parte fixa.
Os erros mais comuns
Erro comum
- Usar regra de três com parte fixa. Só vale quando $b = 0$. Com bandeirada, taxa de adesão ou franquia, a proporção quebra.
- Trocar $a$ por $b$. O $b$ é onde a reta corta o eixo vertical; o zero da função é onde corta o horizontal, e vale $-b/a$.
- Inverter a razão do $a$. É variação de $y$ dividida por variação de $x$, nunca o contrário.
- Esquecer de conferir com o segundo ponto. É a checagem que custa dez segundos e pega o erro.
Perguntas frequentes
O que é uma função afim, em uma frase?
É uma função cujo gráfico é uma reta não horizontal, escrita como $f(x) = ax + b$, em que o valor cresce ou decresce sempre no mesmo ritmo.
Toda função do 1º grau é afim?
Sim, são o mesmo objeto com nomes diferentes. "Função do 1º grau" vem do maior expoente de $x$ ser 1; "função afim" é o nome mais usado nos livros atuais.
Como saber se um problema é de função afim?
Procure a estrutura "valor fixo + valor por unidade". Conta de luz, plano de celular, salário com comissão, corrida de táxi, aluguel de equipamento — todos são função afim.
Função afim cai no ENEM?
Cai com frequência, quase sempre em contexto e cobrando interpretação: identificar o valor inicial e a taxa a partir de um texto ou de um gráfico, e comparar duas opções para ver a partir de quando uma compensa mais que a outra.
Conclusão
Função afim é a estrutura mais comum da matemática do dia a dia: um valor de partida somado a algo que cresce em ritmo constante. Os dois coeficientes carregam exatamente esse significado — $b$ é de onde parte, $a$ é o quanto anda por passo.
O gráfico é uma reta porque o passo nunca muda, o que faz dela a versão contínua de uma progressão aritmética. E a diferença entre afim e linear é só a presença do valor inicial — mas é ela que decide se você pode ou não usar proporção direta.
A sequência dos temas que sustentam este assunto está no guia de matemática básica.
Quer estudar funções com a base que elas exigem, na ordem certa?