Progressão Geométrica: Termo Geral e Soma dos Termos
Na PG você multiplica em vez de somar. Veja como achar qualquer termo, de onde sai a fórmula da soma e por que uma soma infinita pode dar um número finito.
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Progressão geométrica é uma sequência em que você multiplica sempre pelo mesmo valor para passar de um termo ao seguinte. Esse valor fixo é a razão. É a única diferença em relação à PA, onde você soma — mas ela muda tudo: a PA cresce em linha reta e a PG cresce em curva.
Se você já entendeu a progressão aritmética, aqui só troca uma operação. E as duas fórmulas que parecem difíceis saem de raciocínios que dá para refazer no papel em vinte segundos.
O que é uma progressão geométrica?
Olhe a sequência 3, 6, 12, 24, 48…
De um termo para o outro, sempre multiplica por 2. Esse 2 é a razão, representada por $q$.
O teste é direto: divida cada termo pelo anterior. Se der sempre o mesmo número, é PG.
| Sequência | Divisões | É PG? |
|---|---|---|
| 3, 6, 12, 24 | 2, 2, 2 | Sim, $q = 2$ |
| 80, 40, 20, 10 | ½, ½, ½ | Sim, $q = \frac{1}{2}$ |
| 2, 6, 18, 55 | 3, 3, 3,05… | Não |
Razão maior que 1 faz crescer; entre 0 e 1 faz decrescer; negativa faz alternar o sinal a cada termo.
PA ou PG: como diferenciar?
É a distinção que mais confunde, e ela cabe em uma linha:
| Progressão aritmética | Progressão geométrica | |
|---|---|---|
| Operação | Soma a razão | Multiplica pela razão |
| Como testar | Subtraia termos vizinhos | Divida termos vizinhos |
| Crescimento | Linha reta | Curva |
| Análogo financeiro | Juros simples | Juros compostos |
Essa última linha não é coincidência: juros simples somam sempre a mesma quantia, formando uma PA; juros compostos multiplicam pelo mesmo fator, formando uma PG. É o mesmo par de ideias em outra roupa.
Como achar qualquer termo?
Para chegar ao 2º termo você multiplica pela razão uma vez. Ao 3º, duas vezes. Ao 4º, três vezes.
Para chegar à posição $n$, são $n - 1$ multiplicações:
$a_n = a_1 \cdot q^{\,n-1}$O expoente $n-1$ tem o mesmo motivo do $(n-1)$ da PA: o primeiro termo já existe antes de você multiplicar qualquer coisa.
Exemplo. Na sequência 3, 6, 12, 24…, qual é o 5º termo?
- Identifique: $a_1 = 3$ e $q = 2$.
- Aplique: $a_5 = 3 \cdot 2^{4}$.
- Calcule: $3 \cdot 16 = 48$.
Confere com a sequência: 3, 6, 12, 24, 48. ✓
Erro comum
Teste sempre com $n = 1$: a fórmula precisa devolver o próprio $a_1$. Com $q^{n-1}$ dá $a_1 \cdot q^0 = a_1 \cdot 1 = a_1$ ✓. Se você usar $q^n$ por engano, o resultado já sai errado no primeiro termo.
De onde sai a fórmula da soma?
Esta é a parte que costuma ser decorada — e não precisa. O truque é elegante e vale conhecer.
Escreva a soma dos $n$ primeiros termos:
$S = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \dots + a_1q^{\,n-1}$Agora multiplique tudo por $q$:
$qS = a_1q + a_1q^2 + \dots + a_1q^{\,n-1} + a_1q^{\,n}$Repare que as duas linhas têm quase os mesmos termos. Subtraindo a segunda da primeira, todo o miolo se cancela — sobra só a primeira parcela de cima e a última de baixo:
$S - qS = a_1 - a_1q^{\,n}$Coloque em evidência dos dois lados e isole o $S$:
$S(1 - q) = a_1(1 - q^{\,n}) \quad\Longrightarrow\quad S_n = \frac{a_1(1 - q^{\,n})}{1 - q}$Não há nada para memorizar: escreva a soma, multiplique por $q$, subtraia. A fórmula aparece.
Dica
A fórmula exige $q \neq 1$, porque o denominador zeraria. E faz sentido: se $q = 1$ todos os termos são iguais, e a soma é simplesmente $n \cdot a_1$ — não precisa de fórmula nenhuma.
Exemplo resolvido
Ver resolução passo a passo
Some os 5 primeiros termos da PG 3, 6, 12, 24, 48.
Aqui $a_1 = 3$, $q = 2$ e $n = 5$:
$S_5 = \frac{3\,(1 - 2^5)}{1 - 2} = \frac{3\,(1 - 32)}{-1} = \frac{3 \cdot (-31)}{-1} = 93$Resposta: 93.
Conferindo na mão: $3 + 6 + 12 + 24 + 48 = 93$. ✓
Como a PG aparece em questão de prova
Quase nunca com a sequência dada de bandeja. O enunciado descreve uma variação percentual, e cabe a você reconhecer que aquilo é uma PG.
A tradução é sempre a mesma: uma variação de $p\%$ vira uma razão.
| No enunciado | Razão $q$ |
|---|---|
| Aumenta 20% a cada período | $1{,}20$ |
| Cai 20% a cada período | $0{,}80$ |
| Dobra a cada período | $2$ |
| Cai pela metade | $0{,}5$ |
Repare no caso da queda: perder 20% significa restar 80%, e é o que resta que vira a razão. Esse é o mesmo raciocínio dos fatores de porcentagem.
Ver resolução passo a passo
Problema. Um carro vale R$ 40.000 hoje e perde 20% do valor a cada ano. Quanto valerá daqui a 3 anos?
- Ache a razão. Perdendo 20%, restam 80% a cada ano: $q = 0{,}8$.
- Monte o cálculo. São 3 multiplicações, uma por ano:
- Calcule: $(0{,}8)^3 = 0{,}512$, logo $V = 40.000 \cdot 0{,}512 = 20.480$.
Resposta: R$ 20.480.
Ano a ano, para conferir: R$ 32.000 → R$ 25.600 → R$ 20.480. ✓
O erro clássico aqui é somar as quedas: 20% × 3 = 60%, restando R$ 16.000. Está errado, porque cada queda incide sobre um valor menor que o anterior. A perda real foi de 48,8%, não de 60%.
Como uma soma infinita pode dar um número finito?
Parece contraintuitivo, mas é o resultado mais bonito do assunto.
Tome a PG $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \dots$, com $q = \frac{1}{2}$. Some os termos e veja o que acontece:
$1 \;\to\; 1{,}5 \;\to\; 1{,}75 \;\to\; 1{,}875 \;\to\; 1{,}9375 \;\to\; \dots$A soma cresce, mas cada parcela é metade da anterior — então ela nunca alcança 2, só se aproxima cada vez mais.
Volte à fórmula e veja por quê. Quando $|q| < 1$, elevar $q$ a expoentes grandes leva o valor para perto de zero: $\left(\frac{1}{2}\right)^{20}$ já é menos de um milionésimo. Com $q^n$ desprezível, sobra:
$S_\infty = \frac{a_1}{1 - q}$No nosso caso: $S_\infty = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = \dfrac{1}{0{,}5} = 2$. Exatamente o valor de que a soma se aproximava.
A condição é $|q| < 1$. Com razão maior ou igual a 1, os termos não encolhem e a soma cresce sem limite — não existe soma infinita.
Os erros mais comuns
Erro comum
- Trocar $q^{n-1}$ por $q^n$ no termo geral. Teste com $n=1$ para pegar o erro na hora.
- Confundir PA com PG. Subtraia para testar PA, divida para testar PG.
- Usar a soma infinita com $|q| \ge 1$. Só converge quando a razão está entre $-1$ e $1$.
- Somar os expoentes em vez de multiplicar os termos. A razão multiplica; o expoente só conta quantas vezes.
Perguntas frequentes
Qual a diferença entre PA e PG?
Na PA você soma sempre o mesmo valor; na PG você multiplica sempre pelo mesmo valor. A PA cresce em ritmo constante, a PG acelera (ou desacelera) a cada passo.
PG cai no ENEM?
Cai, quase sempre em contexto de crescimento ou decaimento: população que dobra, valor que se deprecia por uma taxa fixa, meia-vida. O trabalho é reconhecer que a variação é multiplicativa, não aditiva.
Como sei se é crescimento por soma ou por multiplicação?
Pela redação do enunciado. "Aumenta 200 unidades por ano" é soma, logo PA. "Aumenta 20% ao ano" é multiplicação por 1,2, logo PG. Porcentagem quase sempre indica PG.
Preciso decorar as fórmulas da PG?
O termo geral compensa saber de cor, por ser curto. A da soma não: como mostramos acima, ela sai em três linhas multiplicando por $q$ e subtraindo — e quem sabe reconstruir não perde a questão por esquecer um sinal.
Conclusão
PG é a PA com uma troca de operação: em vez de somar um passo fixo, você multiplica por um fator fixo. Dessa troca vem tudo — o crescimento em curva, a ligação com juros compostos e a possibilidade de somar infinitos termos e chegar a um número finito.
As duas fórmulas se reconstroem. O termo geral conta quantas multiplicações você fez; a soma sai do truque de multiplicar tudo por $q$ e subtrair, deixando o miolo se cancelar.
O lugar desse tema na sequência da base está no guia de matemática básica, e vale ter firme a potenciação antes, já que a PG vive de expoentes.
Quer estudar sequências e o resto da base numa ordem que se sustenta, do começo?