Função Quadrática: Gráfico, Raízes e Vértice
Por que a parábola curva, o que cada coeficiente controla e como achar o vértice sem decorar fórmula — ele fica no meio do caminho entre as duas raízes.
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Função quadrática é toda função do tipo $f(x) = ax^2 + bx + c$, com $a \neq 0$. O gráfico é uma parábola, e ela curva por um motivo simples: ao contrário da função afim, aqui o ritmo de crescimento não é constante — ele próprio cresce a cada passo.
"Função quadrática" e "função do 2º grau" são o mesmo objeto, com nomes diferentes. O nome vem do maior expoente de $x$ ser 2.
Por que o gráfico curva?
Compare o comportamento das duas funções somando 1 ao $x$ de cada vez. Em $f(x) = x^2$:
| $x$ | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| Salto | — | +1 | +3 | +5 | +7 |
Na função afim o salto era sempre o mesmo. Aqui ele muda: 1, 3, 5, 7.
Mas olhe para os saltos: eles crescem sempre 2. Ou seja, os saltos formam uma progressão aritmética — é a PA de segunda ordem daquele artigo, agora com nome de função.
É isso que faz a reta virar curva. O crescimento acelera de forma constante, então o gráfico precisa se inclinar cada vez mais.
O que cada coeficiente controla?
| Coeficiente | O que faz |
|---|---|
| $a$ | Define a concavidade e o quanto a parábola é "fechada" |
| $b$ | Junto com $a$, posiciona o eixo de simetria |
| $c$ | É o valor inicial: onde a parábola corta o eixo vertical |
O $c$ tem a mesma leitura do $b$ da função afim — basta fazer $x = 0$ e sobra $f(0) = c$.
Por que o sinal de $a$ decide a concavidade?
Para valores grandes de $x$, o termo $ax^2$ cresce muito mais rápido que $bx$ e que $c$ — ele domina o resultado. Como $x^2$ é sempre positivo, quem decide o sinal do total é o $a$.
- $a > 0$ — a parábola abre para cima, e o vértice é o ponto de mínimo.
- $a < 0$ — abre para baixo, e o vértice é o ponto de máximo.
Dica
Para lembrar sem decorar: com $a$ positivo, valores grandes de $x$ levam a função para $+\infty$ nos dois lados — então ela precisa "subir" nas pontas, formando uma boca para cima. Com $a$ negativo, o contrário.
Como achar as raízes?
As raízes (ou zeros) são os valores de $x$ em que $f(x) = 0$ — onde a parábola cruza o eixo horizontal. Achar as raízes é resolver a equação do 2º grau correspondente.
Quando as raízes são inteiras, soma e produto resolve mais rápido que Bhaskara. E o discriminante diz quantas existem:
| $\Delta = b^2 - 4ac$ | Raízes reais | A parábola… |
|---|---|---|
| $\Delta > 0$ | duas | cruza o eixo em dois pontos |
| $\Delta = 0$ | uma | toca o eixo em um ponto |
| $\Delta < 0$ | nenhuma | não toca o eixo |
Como achar o vértice sem decorar a fórmula?
Aqui está o atalho que quase ninguém ensina, e ele dispensa memorização.
A parábola é simétrica. Se ela cruza o eixo em duas raízes, o vértice fica exatamente no meio do caminho entre elas — é a média das duas.
E você já sabe que a soma das raízes vale $-\frac{b}{a}$. Se o vértice é a média, então:
$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2} = \frac{-\frac{b}{a}}{2} = -\frac{b}{2a}$A fórmula do vértice não caiu do céu: ela é a média das raízes. E o $y_v$ você acha do jeito mais simples possível — substituindo o $x_v$ na função.
Teorema
Isso vale mesmo quando não há raízes reais. A simetria da parábola não depende de ela cruzar o eixo, então $x_v = -\frac{b}{2a}$ funciona sempre. Quando as raízes existem, você tem o bônus de poder achar o vértice só tirando a média delas — sem fórmula nenhuma.
Exemplo resolvido
Ver resolução passo a passo
Estude a função $f(x) = x^2 - 6x + 5$.
Concavidade: $a = 1 > 0$, então a parábola abre para cima e o vértice é o mínimo.
Raízes por soma e produto: procuro dois números que somem 6 (o oposto de $-6$) e multipliquem 5. São 1 e 5.
Conferindo com $x = 1$: $1 - 6 + 5 = 0$ ✓. E com $x = 5$: $25 - 30 + 5 = 0$ ✓
Vértice. Como as raízes são 1 e 5, o vértice está na média delas:
$x_v = \frac{1 + 5}{2} = 3$Conferindo pela fórmula: $x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$ ✓ — os dois caminhos batem.
Agora o $y_v$, substituindo:
$y_v = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$Vértice em $(3, -4)$, e o valor mínimo da função é $-4$.
Onde corta o eixo vertical: $f(0) = 5$, que é o próprio $c$. ✓
Onde isso aparece em prova?
Quase sempre em problemas de máximo ou mínimo — porque o vértice responde exatamente a essa pergunta.
Ver resolução passo a passo
Problema. Você tem 20 metros de cerca para fazer um canteiro retangular. Quais medidas dão a maior área?
- Monte a função. Se um lado mede $x$, os quatro lados somam 20, então o outro lado mede $10 - x$.
- A área é o produto dos lados:
- Identifique. Aqui $a = -1 < 0$: a parábola abre para baixo, logo o vértice é o máximo. É o que queremos.
- Ache o vértice:
- Calcule a área: $A(5) = 5 \cdot (10 - 5) = 25$.
Resposta: lados de 5 m por 5 m, área máxima de 25 m².
Repare no resultado: a maior área saiu de um quadrado. Não é coincidência — entre todos os retângulos de mesmo perímetro, o quadrado é sempre o de maior área.
Os erros mais comuns
Erro comum
- Confundir o $c$ com a raiz. O $c$ é onde a parábola corta o eixo vertical; as raízes são onde ela corta o horizontal.
- Achar o $x_v$ e parar. O $x_v$ é só a posição. O valor máximo ou mínimo é o $y_v$, que exige substituir na função.
- Errar o sinal em $-\frac{b}{2a}$. Com $b$ negativo, o resultado fica positivo. Confira pela média das raízes quando elas existirem.
- Assumir que sempre há duas raízes. Com $\Delta < 0$ a parábola não toca o eixo, e a função nunca zera — mas ainda tem vértice.
Perguntas frequentes
Função quadrática é o mesmo que função do 2º grau?
Sim. Os dois nomes descrevem $f(x) = ax^2 + bx + c$ com $a \neq 0$. "Do 2º grau" vem do maior expoente; "quadrática" vem do quadrado.
Como calcular o zero da função quadrática?
Iguale a função a zero e resolva a equação do 2º grau. Se as raízes forem inteiras, soma e produto costuma ser mais rápido; caso contrário, use Bhaskara.
Por que o vértice fica no meio das raízes?
Porque a parábola é simétrica em relação a uma reta vertical que passa pelo vértice. Se ela cruza o eixo em dois pontos, esses pontos ficam à mesma distância dessa reta — e o meio deles é exatamente o vértice.
Como sei se o vértice é máximo ou mínimo?
Pelo sinal de $a$. Positivo abre para cima, e o vértice é o ponto mais baixo (mínimo). Negativo abre para baixo, e o vértice é o mais alto (máximo).
Conclusão
A parábola curva porque o ritmo de crescimento não é fixo — ele acelera de forma constante, o que faz dela a versão contínua de uma PA de segunda ordem.
E as duas coisas que a prova mais cobra saem sem memorização: as raízes vêm da equação do 2º grau, e o vértice é a média das raízes, o que explica de onde vem o $-\frac{b}{2a}$ em vez de exigir que você o decore.
O caminho até aqui passa pela função afim e pelos produtos notáveis, e a sequência completa está no guia de matemática básica.
Quer chegar em funções com a base que elas exigem, sem pular etapas?