Logaritmo: o Que É, Propriedades e Como Calcular
Logaritmo é a pergunta que falta na potência: qual é o expoente? Veja a definição, de onde saem as propriedades e por que produto vira soma.
Logaritmo · Potenciação · Matemática Básica · ENEM · Concursos
Logaritmo responde à pergunta "qual é o expoente?". Em $\log_2 8 = 3$, você está dizendo que 2 elevado a 3 dá 8. É a terceira pergunta que se pode fazer sobre uma potência — e é por isso que todas as propriedades dele são propriedades de potência disfarçadas.
O símbolo assusta mais que o conceito. Quem já domina potenciação está a uma pergunta de distância de dominar logaritmo.
O que é logaritmo?
Toda potência tem três elementos: base, expoente e resultado. Como $2^3 = 8$, temos base 2, expoente 3 e resultado 8.
Esconda um deles e você tem três perguntas diferentes:
| O que está escondido | A pergunta | A operação |
|---|---|---|
| O resultado | $2^3 = \;?$ | Potenciação |
| A base | $x^3 = 8$ | Radiciação |
| O expoente | $2^x = 8$ | Logaritmo |
Logaritmo é simplesmente a terceira. E a definição inteira cabe numa linha:
$\log_a b = x \quad \Longleftrightarrow \quad a^x = b$Lê-se "log de $b$ na base $a
quot;. Aqui $a$ é a base, $b$ é o logaritmando e $x$ é o logaritmo — que é o expoente que você procura.Dica
Sempre que travar num logaritmo, reescreva como potência. $\log_5 125$ vira "5 elevado a quanto dá 125?" — e aí é só contar: $5 \times 5 \times 5$, ou seja, 3. A definição resolve mais questões que qualquer fórmula.
Quais condições precisam ser respeitadas?
Três, e todas têm motivo:
- $b > 0$ — o logaritmando é positivo. Como $a^x$ nunca dá negativo nem zero para base positiva, não existe expoente que resolva $2^x = -8$.
- $a > 0$ — a base é positiva, pelo mesmo motivo.
- $a \neq 1$ — a base não pode ser 1. Como $1^x = 1$ sempre, $\log_1 5$ pediria um expoente que transformasse 1 em 5, e nenhum serve.
Essas condições não são burocracia: elas aparecem em prova como pegadinha, quando a resposta encontrada não satisfaz alguma delas.
De onde saem as propriedades?
Aqui está o coração do assunto. As três propriedades não precisam ser decoradas — todas saem de propriedades de potência que você já conhece.
Por que log de produto vira soma?
Você já sabe que ao multiplicar potências de mesma base os expoentes somam:
$a^x \cdot a^y = a^{\,x+y}$Traduza isso para a linguagem do logaritmo. Se $x$ é o expoente que gera $m$ e $y$ é o que gera $n$, então $x + y$ é o expoente que gera $m \cdot n$. Ou seja:
$\log_a (m \cdot n) = \log_a m + \log_a n$Testando: $\log_2 (8 \cdot 4) = \log_2 32 = 5$, porque $2^5 = 32$. E pelo outro lado, $\log_2 8 + \log_2 4 = 3 + 2 = 5$. ✓
E as outras duas?
Mesma lógica, com as outras propriedades de potência:
| Propriedade da potência | Propriedade do logaritmo |
|---|---|
| $a^x \div a^y = a^{\,x-y}$ | $\log_a \dfrac{m}{n} = \log_a m - \log_a n$ |
| $(a^x)^k = a^{\,xk}$ | $\log_a m^k = k \cdot \log_a m$ |
E dois casos imediatos, que saem direto da definição:
$\log_a 1 = 0 \quad (\text{porque } a^0 = 1) \qquad\qquad \log_a a = 1 \quad (\text{porque } a^1 = a)$Teorema
A propriedade do produto é o motivo histórico de o logaritmo existir. Antes das calculadoras, multiplicar números grandes era lento e somar era rápido — então convertia-se a multiplicação em soma pela tabela de logaritmos, somava-se, e voltava-se. Logaritmo foi inventado para transformar produto em soma.
Exemplo resolvido
Ver resolução passo a passo
Calcule $\log_3 81$.
Pela definição: 3 elevado a quanto dá 81?
$3^1 = 3 \quad 3^2 = 9 \quad 3^3 = 27 \quad 3^4 = 81$Resposta: 4.
Agora um com propriedade. Calcule $\log_2 8 + \log_2 4 - \log_2 16$.
- Pelas propriedades, some e subtraia os logaritmandos: $\log_2 \dfrac{8 \cdot 4}{16} = \log_2 2$.
- E $\log_2 2 = 1$.
Resposta: 1.
Conferindo pelo caminho direto: $3 + 2 - 4 = 1$. ✓ Os dois caminhos batem.
Como resolver uma equação com logaritmo?
Use a definição para tirar o log da frente, e sempre confira a condição de existência no fim.
Ver resolução passo a passo
Resolva $\log_2 (x - 1) = 3$.
- Pela definição, isso significa $2^3 = x - 1$.
- Logo $8 = x - 1$, e daí $x = 9$.
- Confira: o logaritmando precisa ser positivo. Com $x = 9$, temos $x - 1 = 8 > 0$. ✓
Resposta: $x = 9$.
O passo 3 não é formalidade. Em equações com $x^2$, é comum aparecer uma segunda solução que zera ou torna negativo o logaritmando — e ela precisa ser descartada.
Como calcular na calculadora?
Calculadoras têm só duas teclas de logaritmo:
log— base 10, o logaritmo decimal. Quando a base não aparece escrita, é essa.ln— base $e \approx 2{,}718$, o logaritmo natural.
Para qualquer outra base, use a mudança de base:
$\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}$Você escolhe a base $c$ que a calculadora tem. Para achar $\log_2 32$:
$\log_2 32 = \frac{\log 32}{\log 2} = \frac{1{,}5051}{0{,}3010} = 5$Que é exatamente o valor esperado, já que $2^5 = 32$. ✓
Onde o logaritmo aparece de verdade?
Sempre que a pergunta é "quanto tempo" ou "quantas vezes" dentro de um crescimento multiplicativo.
Em juros compostos, o montante é $M = C(1+i)^n$. Se você quer saber em quanto tempo o dinheiro dobra, o $n$ está no expoente — e tirar ele de lá exige logaritmo. O mesmo vale para qualquer progressão geométrica.
Também aparece em escalas que comprimem números enormes: pH, magnitude de terremotos e decibéis são todas escalas logarítmicas. É por isso que um terremoto de magnitude 7 não é "um pouco pior" que um de 6 — é dez vezes maior.
Os erros mais comuns
Erro comum
- Achar que log de soma vira soma de logs. Este é o erro campeão. Veja com números: $\log_2(4 + 4) = \log_2 8 = 3$, mas $\log_2 4 + \log_2 4 = 2 + 2 = 4$. São diferentes. A propriedade vale para produto, não para soma — e $\log_a(m+n)$ simplesmente não simplifica.
- Esquecer a condição de existência. Ache a resposta e volte para conferir se o logaritmando ficou positivo.
- Inverter a mudança de base. É log do logaritmando dividido por log da base, nessa ordem.
- Confundir $\log_a b$ com $\log_b a$. São recíprocos, não iguais: $\log_2 8 = 3$, mas $\log_8 2 = \frac{1}{3}$.
Perguntas frequentes
Para que serve logaritmo na prática?
Para isolar uma incógnita que está no expoente, e para comprimir escalas muito grandes. Tempo de dobra de um investimento, meia-vida de uma substância, pH e decibéis são todos casos de logaritmo.
Qual a diferença entre log e ln?
Só a base. log sem índice é base 10; ln é base $e$, o logaritmo natural. As propriedades são idênticas nas duas.
Preciso decorar as propriedades?
Não, e é melhor não. As três saem das propriedades de potência: produto vira soma, quociente vira subtração, expoente vira multiplicação. Se você lembra do que acontece com os expoentes, reconstrói as três.
Como logaritmo cai no ENEM?
Quase sempre em contexto — crescimento populacional, decaimento radioativo, escala Richter — e cobrando a leitura da situação mais que a conta. Costuma vir com os valores de log já dados no enunciado.
Conclusão
Logaritmo não é um assunto novo: é a potenciação respondendo a uma pergunta diferente. Em vez de "quanto dá", ele pergunta "qual expoente faz dar".
Por isso as propriedades não precisam de memória. Multiplicar potências soma expoentes — logo, log de produto é soma de logs. Cada regra do logaritmo é uma regra de potência lida do outro lado.
O lugar desse tema na sequência da base está no guia de matemática básica, e vale ter potenciação firme antes de começar.
Quer construir essa base na ordem certa, com o passo a passo de cada pré-requisito?